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ramified\u3067\u3042\u308b\u3082\u306e(\u6709\u9650\u500b\u306e\u70b9\u3092\u9664\u53bb\u3059\u308b\u3068\u4e0d\u9023\u7d50\u306b\u306a\u308b\u3082\u306e)\u304a\u3088\u3073infinite ramified\u3067\u3042\u308b\u3082\u306e(\u6709\u9650\u500b\u306e\u70b9\u306e\u9664\u53bb\u3067\u306f\u5206\u96e2\u3067\u304d\u306a\u3044\u3082\u306e)\u306e2\u7a2e\u985e\u306b\u5206\u985e\u3067\u304d\u308b.\u3053\u306e\u8ad6\u6587\u3067\u306f\u524d\u8005\u306e\u5178\u578b\u4f8b\u3067\u3042\u308bSierpinski gasket\u683c\u5b50,\u304a\u3088\u3073\u5f8c\u8005\u306e\u5178\u578b\u4f8b\u3067\u3042\u308bSierpinski carpet\u683c\u5b50\u306b\u304a\u3051\u308b\u30d1\u30fc\u30b3\u30ec\u30fc\u30b7\u30e7\u30f3\u306b\u3064\u3044\u3066\u7814\u7a76\u3057\u305f.//\u307e\u305a,Sierpinski 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gasket\u683c\u5b50\u3067\u306f\u3053\u308c\u3068\u7570\u306a\u3063\u305f\u767a\u6563\u306e\u30aa\u30fc\u30c0\u30fc\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u3063\u305f.//Theorem1 lim[p\u21921]-log\u03be(p)/log(1-p)=\u221e,//\u3055\u3089\u306b//lim[p\u21921]log(log\u03be(p))/log(1-p)=-2.//\u305d\u3057\u3066\u3053\u306e\u3068\u304d\u306ehyperscaling relation\u306b\u3064\u3044\u3066\u8003\u5bdf\u3092\u884c\u3063\u305f.\u307e\u305f,\u3053\u306e\u03be(p)\u306e\u30aa\u30fc\u30c0\u30fc\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u3055\u3089\u306b\u8a73\u7d30\u307e\u3067\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u53ef\u80fd\u3067\u3042\u308a,\u4ed6\u306efinite ramified\u306a\u30d5\u30e9\u30af\u30bf\u30eb\u683c\u5b50(snowflake, pentakun)\u306b\u304a\u3044\u3066\u3082\u540c\u69d8\u306b\u6c42\u3081\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3057\u305f.//\u6b21\u306b,Sierpinski carpet\u683c\u5b50\u3067\u306e\u30d1\u30fc\u30b3\u30ec\u30fc\u30b7\u30e7\u30f3\u306b\u3064\u3044\u3066\u8003\u3048\u305f.\u4e00\u822c\u5316\u3055\u308c\u305fSierpinski carpet\u683c\u5b50\u3092Z2\u306e\u90e8\u5206\u30b0\u30e9\u30d5\u3068\u3057\u3066\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b.L\u22672,T\u2282{0,1,\u2026,L-1}2\u3068\u3059\u308b.\u305f\u3060\u3057(0,0)\u2208T\u3092\u4eee\u5b9a\u3059\u308b.\u30b0\u30e9\u30d5GT=(VT,ET)\u3092\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u69cb\u6210\u3059\u308b.//VT0=Z2\u2229{(x,y)|0\u2266x,y\u22661},VT(n+1)=\u222a[(i,j)\u2208T](VTn+(iLn,jLn))(n\u22670),//VT=\u222a[n=0,\u221e]VTn, ET={\u003cu,v\u003e|u,v\u2208VT,||u-v||1=1}.//L=3,T={(i,j)|0\u2266i,j\u22662,(i,j)\u2260(1,1)}\u306e\u3068\u304d\u306eGT\u304c\u6700\u3082\u77e5\u3089\u308c\u305fSierpinski carpet\u683c\u5b50\u3067\u3042\u308b.\u3053\u306eGT\u306b\u304a\u3051\u308bbond percolation\u3092\u8003\u3048,\u305d\u306e\u81e8\u754c\u78ba\u7387\u3092pc(GT)\u3068\u3059\u308b.T\u306b\u3069\u306e\u3088\u3046\u306a\u6761\u4ef6\u304c\u3042\u308c\u3070pc(GT)\u003c1\u3068\u306a\u308b\u304b,\u3059\u306a\u308f\u3061\u81ea\u660e\u3067\u306a\u3044\u76f8\u8ee2\u79fb\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u304b,\u3092\u8003\u3048\u308b.{(i,j)|i\u2208{0,L-1}orj\u2208{0,L-1}}\u2282T\u306a\u3089\u3070pc(GT)\u003c1\u3068\u3044\u3046\u7d50\u679c\u304cKumagai(1997)\u306b\u3088\u3063\u3066\u5f97\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b.\u3053\u308c\u3092\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u62e1\u5f35\u3057\u305f.\u3053\u3053\u3067Tl={j|(0,j)\u2208T},Tr={j|(L-1,j)\u2208T},Td={i|(i,0)\u2208T},Tu={i|(i,L-1)\u2208T}\u3068\u66f8\u304f\u3053\u3068\u306b\u3059\u308b.//Theorem2 \u4efb\u610f\u306et\u2208T\u306b\u5bfe\u3057T\uff3c{t}\u306f\u9023\u7d50,\u304a\u3088\u3073|Ti\u2229Tr|\u22672\u304b\u3064|Td\u2229Tu|\u22672.\u3092\u4eee\u5b9a\u3059\u308b.\u3053\u306e\u3068\u304dpc(GT)\u003c1\u3067\u3042\u308b.//\u307e\u305f,pc(GT)\u003c1\u3068\u306a\u308b\u305f\u3081\u306eT\u306e\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6,\u304a\u3088\u3073GT\u306e\u7b49\u5468\u6b21\u5143\u3068\u81e8\u754c\u78ba\u7387\u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u8003\u5bdf\u3092\u884c\u3063\u305f.//Sierpinski carpet\u683c\u5b50\u306b\u304a\u3044\u3066oriented 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  1. 121 数理科学研究科
  2. 99 論文博士
  3. 数理科学
  1. 0 資料タイプ別
  2. 20 学位論文
  3. 021 博士論文

フラクタル格子上のパーコレーション

https://doi.org/10.15083/00002110
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Name / File License Actions
K-215568.pdf K-215568.pdf (999.2 kB)
item type 学位論文 / Thesis or Dissertation(1)
公開日 2012-02-28
タイトル
タイトル フラクタル格子上のパーコレーション
言語
言語 eng
資源タイプ
資源 http://purl.org/coar/resource_type/c_46ec
タイプ thesis
ID登録
ID登録 10.15083/00002110
ID登録タイプ JaLC
著者 篠田, 正人

× 篠田, 正人

WEKO 6134

篠田, 正人
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著者別名
姓名
姓名 シノダ, マサト
Abstract
内容記述タイプ Abstract
内容記述 本論文ではフラクタル格子におけるパーコレーションの問題を考えた.パーコレーションにおいて平行移動不変性のないグラフではZd格子上とどのような違いがあるか,またフラクタルの持つ特別な性質がパーコレーションを考えることで見出せないか,といった点などを動機として研究を行った.//フラクタルはfinite ramifiedであるもの(有限個の点を除去すると不連結になるもの)およびinfinite ramifiedであるもの(有限個の点の除去では分離できないもの)の2種類に分類できる.この論文では前者の典型例であるSierpinski gasket格子,および後者の典型例であるSierpinski carpet格子におけるパーコレーションについて研究した.//まず,Sierpinski gasket格子でのパーコレーションについて考えた.O=(0,0),a0=(1/2,√3/2),b0=(1,0)とする.F0を△Oa0b0の3頂点およびそれらを結ぶ辺からなるグラフとする.{Fn}n=0,1,2,…をFn+1=Fn∪(Fn+an)∪(Fn+bn)で与えられるグラフの列とする.ここでA+a={x+a|x∈A},kA={kx|x∈A},an=2na0,bn=2nb0である.F=∪∞n=0Fnとする.この中の長さ1の辺がそれぞれ独立に確率pでopen,確率1-pでclosedとするbond percolationを考える.Ppを対応する確率測度,Oからopenな辺のみを通って到達できる点の集合をCとする.θ(p)=Pp(|C|=∞)とし,臨界確率をpc=inf{p|θ(p)>0}とする.このときpc=1である.correlation length ξ(p)=lim[n→∞]{-1/nlogPp(O⇔(n,0,...,0))}を定める.この関数がp↑pcでどのような振る舞いをするかを調べた.d次元正方格子ではp↑pcでξ(p)～|pc-p|(-ν)であると予想されているが,このSierpinski gasket格子ではこれと異なった発散のオーダーであることがわかった.//Theorem1 lim[p→1]-logξ(p)/log(1-p)=∞,//さらに//lim[p→1]log(logξ(p))/log(1-p)=-2.//そしてこのときのhyperscaling relationについて考察を行った.また,このξ(p)のオーダーについてはさらに詳細まで計算することが可能であり,他のfinite ramifiedなフラクタル格子(snowflake, pentakun)においても同様に求めることができることを示した.//次に,Sierpinski carpet格子でのパーコレーションについて考えた.一般化されたSierpinski carpet格子をZ2の部分グラフとして定義する.L≧2,T⊂{0,1,…,L-1}2とする.ただし(0,0)∈Tを仮定する.グラフGT=(VT,ET)を以下のように構成する.//VT0=Z2∩{(x,y)|0≦x,y≦1},VT(n+1)=∪[(i,j)∈T](VTn+(iLn,jLn))(n≧0),//VT=∪[n=0,∞]VTn, ET={<u,v>|u,v∈VT,||u-v||1=1}.//L=3,T={(i,j)|0≦i,j≦2,(i,j)≠(1,1)}のときのGTが最も知られたSierpinski carpet格子である.このGTにおけるbond percolationを考え,その臨界確率をpc(GT)とする.Tにどのような条件があればpc(GT)<1となるか,すなわち自明でない相転移が存在するか,を考える.{(i,j)|i∈{0,L-1}orj∈{0,L-1}}⊂Tならばpc(GT)<1という結果がKumagai(1997)によって得られている.これを以下のように拡張した.ここでTl={j|(0,j)∈T},Tr={j|(L-1,j)∈T},Td={i|(i,0)∈T},Tu={i|(i,L-1)∈T}と書くことにする.//Theorem2 任意のt∈Tに対しT＼{t}は連結,および|Ti∩Tr|≧2かつ|Td∩Tu|≧2.を仮定する.このときpc(GT)<1である.//また,pc(GT)<1となるためのTの必要条件,およびGTの等周次元と臨界確率との関係についても考察を行った.//Sierpinski carpet格子においてoriented percolationについても考えた.これはopenな辺を通過するとき,右または上向き(各座標成分の正方向)にしか通れない,という制限をつけたものである.特にTが対称性を持つ場合について考えた.L=2a+b(a,b>0),Ta,b={0,1,…,L-1}2＼{a,a+1,…,a+b-1}2とする.//Theorem3　a≦bならば→pc(Ga,b2)=1.//この結果は,Z2から取り除かれる部分がある程度大きければoriented percolationにおいては自明でない相転移が起こらないことを示している.よく知られたようにpc(Z2)<1であり,この点においてSierpinski carpet格子とZ2には大きな違いがあることがわかる.なお残念ながら,現段階ではa>bの場合に自明でない相転移があるかどうかはわかっていない.//同様に,Sierpinski carpetの高次元化のひとつであるMenger spongeの格子についても,穴が十分大きければ自明でない相転移歩起こらないことを示した.
書誌情報 発行日 2003-02-21
日本十進分類法
主題Scheme NDC
主題 417
学位名
学位名 博士(数理科学)
学位
値 doctoral
学位分野
Mathematical Sciences(数理科学)
学位授与機関
学位授与機関名
学位授与機関名 University of Tokyo (東京大学)
研究科・専攻
Graduate School of Mathematical Sciences (数理科学研究科)
学位授与年月日
学位授与年月日 2003-02-21
学位授与番号
学位授与番号 乙第15568号
学位記番号
第15568号
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