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\u4efb\u610f\u306et\u2208T\u306b\u5bfe\u3057T\uff3c{t}\u306f\u9023\u7d50,\u304a\u3088\u3073|Ti\u2229Tr|\u22672\u304b\u3064|Td\u2229Tu|\u22672.\u3092\u4eee\u5b9a\u3059\u308b.\u3053\u306e\u3068\u304dpc(GT)\u003c1\u3067\u3042\u308b.//\u307e\u305f,pc(GT)\u003c1\u3068\u306a\u308b\u305f\u3081\u306eT\u306e\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6,\u304a\u3088\u3073GT\u306e\u7b49\u5468\u6b21\u5143\u3068\u81e8\u754c\u78ba\u7387\u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u8003\u5bdf\u3092\u884c\u3063\u305f.//Sierpinski carpet\u683c\u5b50\u306b\u304a\u3044\u3066oriented 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  1. 121 数理科学研究科
  2. 99 論文博士
  3. 数理科学
  1. 0 資料タイプ別
  2. 20 学位論文
  3. 021 博士論文

フラクタル格子上のパーコレーション

https://doi.org/10.15083/00002110
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名前 / ファイル ライセンス アクション
K-215568.pdf K-215568.pdf (999.2 kB)
Item type 学位論文 / Thesis or Dissertation(1)
公開日 2012-02-28
タイトル
タイトル フラクタル格子上のパーコレーション
言語
言語 eng
資源タイプ
資源 http://purl.org/coar/resource_type/c_46ec
タイプ thesis
ID登録
ID登録 10.15083/00002110
ID登録タイプ JaLC
著者 篠田, 正人

× 篠田, 正人

WEKO 6134

篠田, 正人
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著者別名
識別子
識別子 6135
識別子Scheme WEKO
姓名
姓名 シノダ, マサト
Abstract
内容記述タイプ Abstract
内容記述 本論文ではフラクタル格子におけるパーコレーションの問題を考えた.パーコレーションにおいて平行移動不変性のないグラフではZd格子上とどのような違いがあるか,またフラクタルの持つ特別な性質がパーコレーションを考えることで見出せないか,といった点などを動機として研究を行った.//フラクタルはfinite ramifiedであるもの(有限個の点を除去すると不連結になるもの)およびinfinite ramifiedであるもの(有限個の点の除去では分離できないもの)の2種類に分類できる.この論文では前者の典型例であるSierpinski gasket格子,および後者の典型例であるSierpinski carpet格子におけるパーコレーションについて研究した.//まず,Sierpinski gasket格子でのパーコレーションについて考えた.O=(0,0),a0=(1/2,√3/2),b0=(1,0)とする.F0を△Oa0b0の3頂点およびそれらを結ぶ辺からなるグラフとする.{Fn}n=0,1,2,…をFn+1=Fn∪(Fn+an)∪(Fn+bn)で与えられるグラフの列とする.ここでA+a={x+a|x∈A},kA={kx|x∈A},an=2na0,bn=2nb0である.F=∪∞n=0Fnとする.この中の長さ1の辺がそれぞれ独立に確率pでopen,確率1-pでclosedとするbond percolationを考える.Ppを対応する確率測度,Oからopenな辺のみを通って到達できる点の集合をCとする.θ(p)=Pp(|C|=∞)とし,臨界確率をpc=inf{p|θ(p)>0}とする.このときpc=1である.correlation length ξ(p)=lim[n→∞]{-1/nlogPp(O⇔(n,0,...,0))}を定める.この関数がp↑pcでどのような振る舞いをするかを調べた.d次元正方格子ではp↑pcでξ(p)～|pc-p|(-ν)であると予想されているが,このSierpinski gasket格子ではこれと異なった発散のオーダーであることがわかった.//Theorem1 lim[p→1]-logξ(p)/log(1-p)=∞,//さらに//lim[p→1]log(logξ(p))/log(1-p)=-2.//そしてこのときのhyperscaling relationについて考察を行った.また,このξ(p)のオーダーについてはさらに詳細まで計算することが可能であり,他のfinite ramifiedなフラクタル格子(snowflake, pentakun)においても同様に求めることができることを示した.//次に,Sierpinski carpet格子でのパーコレーションについて考えた.一般化されたSierpinski carpet格子をZ2の部分グラフとして定義する.L≧2,T⊂{0,1,…,L-1}2とする.ただし(0,0)∈Tを仮定する.グラフGT=(VT,ET)を以下のように構成する.//VT0=Z2∩{(x,y)|0≦x,y≦1},VT(n+1)=∪[(i,j)∈T](VTn+(iLn,jLn))(n≧0),//VT=∪[n=0,∞]VTn, ET={<u,v>|u,v∈VT,||u-v||1=1}.//L=3,T={(i,j)|0≦i,j≦2,(i,j)≠(1,1)}のときのGTが最も知られたSierpinski carpet格子である.このGTにおけるbond percolationを考え,その臨界確率をpc(GT)とする.Tにどのような条件があればpc(GT)<1となるか,すなわち自明でない相転移が存在するか,を考える.{(i,j)|i∈{0,L-1}orj∈{0,L-1}}⊂Tならばpc(GT)<1という結果がKumagai(1997)によって得られている.これを以下のように拡張した.ここでTl={j|(0,j)∈T},Tr={j|(L-1,j)∈T},Td={i|(i,0)∈T},Tu={i|(i,L-1)∈T}と書くことにする.//Theorem2 任意のt∈Tに対しT＼{t}は連結,および|Ti∩Tr|≧2かつ|Td∩Tu|≧2.を仮定する.このときpc(GT)<1である.//また,pc(GT)<1となるためのTの必要条件,およびGTの等周次元と臨界確率との関係についても考察を行った.//Sierpinski carpet格子においてoriented percolationについても考えた.これはopenな辺を通過するとき,右または上向き(各座標成分の正方向)にしか通れない,という制限をつけたものである.特にTが対称性を持つ場合について考えた.L=2a+b(a,b>0),Ta,b={0,1,…,L-1}2＼{a,a+1,…,a+b-1}2とする.//Theorem3　a≦bならば→pc(Ga,b2)=1.//この結果は,Z2から取り除かれる部分がある程度大きければoriented percolationにおいては自明でない相転移が起こらないことを示している.よく知られたようにpc(Z2)<1であり,この点においてSierpinski carpet格子とZ2には大きな違いがあることがわかる.なお残念ながら,現段階ではa>bの場合に自明でない相転移があるかどうかはわかっていない.//同様に,Sierpinski carpetの高次元化のひとつであるMenger spongeの格子についても,穴が十分大きければ自明でない相転移歩起こらないことを示した.
書誌情報 発行日 2003-02-21
日本十進分類法
主題 417
主題Scheme NDC
学位名
学位名 博士(数理科学)
学位
値 doctoral
学位分野
Mathematical Sciences(数理科学)
学位授与機関
学位授与機関名
学位授与機関名 University of Tokyo (東京大学)
研究科・専攻
Graduate School of Mathematical Sciences (数理科学研究科)
学位授与年月日
学位授与年月日 2003-02-21
学位授与番号
学位授与番号 乙第15568号
学位記番号
第15568号
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